MATHEMATICAL MODELING AS THE PROCESS OF APPROXIMATION TO REALITY IN THE STUDY OF THE PERFORMANCE OF HEALTH SYSTEMS

Full Text

Актуальность. Под моделированием понимается исследование процесса на моделях. Математическая модель может являться результатом формализации процесса, то есть построения четкого описания процесса с определённой степенью приближения к действительности [1, 2]. При изучении любого процесса методом моделирования основной задачей является в первую очередь построение математического описания (математической модели) изучаемого процесса. Материал и методы исследования. Процессом функционирования системы проходит при последовательной смене необходимых состояний изучаемой системы во времени. Любое количественное изучение процесса (а тем более построение математической модели) возможно в случае, если определяются те величины, которые в полной мере характеризуют процесс с количественной точки зрения. Поэтому каждое состояние системы, соответствующее фиксированному моменту времени, описывается следующей формулой Y=(Y1, Y2, …, Yn), выражающей основные свойства системы с требуемым приближением к действительности. При переходе от одного мгновенного состояния системы к другому значения величин Y в общем случае меняются [2]. Характеристики процесса можно также определять как координаты точки в n-мерном пространстве, где каждому мгновенному состоянию процесса соответствует определенная точка. Случайный характер протекания процесса чаще всего объясняется действием на его элементы случайных изменений, возникающих внутри системы или вне ее, или случайным характером исходной информации, перерабатываемой системой в процессе функционирования [3, 4, 5, 6, 7]. Полученные результаты и их обсуждение. Не всегда признак, оказавшийся наиболее важным при одномерном рассмотрении, обнаруживает те же свойства при использовании многомерного критерия. Причем может возникнуть даже такая ситуация: на отдельно взятые признаки, выделенные факторы не оказывают значимого влияния, и поэтому при традиционном одномерном подходе эти признаки могут быть исключены из содержательного анализа. Однако при их рассмотрении в совокупности порой получаются чрезвычайно выразительные результаты. Поставим общую математическую задачу следующим образом: имеются объекты, характеризуемые набором случайных величин y1, y2, ..., yp (многомерный вектор) с матрицей ковариаций (априори известной, либо оцененной по выборочным данным) и математическими ожиданиями, равными нулю. Это означает, что переменные yi - стандартизованы [3, 4]. В нашем случае объектами являются пациенты с установленным острым коронарным синдромом и классифицированные по двум факторам - лечебной процедуре (группа) и день с начала назначения лечения (день). Цель математического исследования состоит в качественном описании и выявлении явных отличительных признаков, изучаемых совокупностей, на основе данных наблюдений множества Y. Матрица данных является основой прикладного многомерного анализа. Она представляет собой количественное выражение интересующего исследователя явления. Чтобы адекватно отражать изучаемую проблематику эта матрица должна содержать достаточное количество информации. При формализации задачи следует определить набор признаков, отражающих изучаемое явление. Все переменные измерить не представляется возможным, поэтому приходиться использовать те или иные способы предварительного отбора [3, 4]. При использовании объекта или признака, их условно называют матрицей «объект-свойство» или «объект-признак» и применяют прямоугольную таблицу, которая состоит из значений признаков свойств выборки наблюдений. В данной таблице одно наблюдение записывается в виде отдельной строки, которая состоит из значений используемых признаков, а каждый отдельный признак в такой матрице представлен столбцом, состоящим из значений этого признака. Каждому из n объектов соответствует p переменных: Переменная Индивидуум 1 2 … n 1 Y11 Y12 … Y1n p Yp1 Yp2 … Ypn Пусть вектор соответствует n независимым измерениям i-й переменной, i =1, …., p. Для каждого такого вектора соответствует одномерная линейная модель. , . (1) Здесь - матрица ранга , - дисперсия i-й переменной и - вектор из m-неизвестных параметров, которые соответствуют каждой переменной. Далее, p-линейные модели, которые задаются формулами (1), вместе, составляют обобщенную многомерную линейную модель. При этом матрица одинакова для всех переменных, а векторы могут быть различны. Зависимость переменных определяются формулой , i,j=1,…,p, (2) где - ковариация между i-й и j- й переменными. И наконец, предполагается, что и . Модель, задаваемую соотношениями (1) и (2), представляется в виде , (3) где - матрица значений откликов, - матрица ранга r и - матрица неизвестных параметров. И наконец, - матрица, строки которой составляют случайную выборку размера n из невырожденного p-мерного распределения , где -ковариационная матрица, а -нулевой вектор. Уравнение (3) является записью многомерной обобщенной линейной модели. Оценкой служит МНК-оценка, которая использует наблюдения только переменной [2]. В результате, аналогично одномерной линейной модели, оценка параметра получается в результате решения системы нормальных уравнений , (4) где . Выводы. Начало изучения какого-либо объекта характеризуется недостатком определённого набора информации о существующих в объекте зависимостях между исследуемыми переменными. Это означает, что кроме проверки наличия существенности предполагаемых зависимостей, с помощью статистических методов может быть установлено наличие ранее неизвестных зависимостей. Умение использовать новые зависимости позволяет генерировать новые гипотезы о механизмах исследуемых факторов воздействия на изучаемые системы.

About the authors

V M Uskov

air force Academy named after Professor N. E. Zhukovsky and Y. A. Gagarin"

Email: vm.uskov.card@mail.ru

I V Teslinov

Voronezh state medical University

T V Markova

598 policlinic of the Moscow military district

References